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向量、单位向量 (Vector, Unit Vector)

  • 2020-06-25
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在物理学上,我们有许许多多的「量」,对于那些在经过座标转换后仍然能保持不变的物理量,我们称之为纯量,纯量是不具有方向性的。对于那些既有大小,又具有方向的量,我们就称之为「向量」。在物理学上,很多的「量」都是具有方向性的,像是:位移、速度、加速度、力矩、动量、冲量等。

向量、单位向量 (Vector, Unit Vector) 一般而言我们是以箭号来表示向量,对于一个由A出发B结束的向量(如图),我们记做 \(\vec {AB}\)

对于某向量 \(\vec a\) 的大小,我们表示成 \(|\vec a|\)

由于向量仅具有大小及方向,因此当两个向量的方向、大小都相等时,我们就可以说这两个向量是相等的。换句话说向量在空间中是可以平移的,平移后的向量与原来的向量仍然相等。

对于所有的向量,我们都可以用单位向量来表示他。在数学上,单位向量就是长度为 \(1\) 的向量。在空间中,\(x,y,z\) 方向上的单位向量分别为 \(\hat i, \hat j, \hat k\)

任何一个向量都可以用他在 \(x,y,z\) 轴上的分量来表示,即:\(\vec a = a_{x}\hat i + a_{y}\hat j + a_{z}\hat k\)
对于某个方向上的单位向量,我们可以以 \(\displaystyle\frac {\vec a}{|\vec a|}\) 来表示。

向量的加减

对于向量我们仍然可以进行加减。我们先把要计算的向量 \(\vec{a},\vec{b}\) 以相同的比例尺度绘出,并使两向量其中一端头尾相连,则可以作图法将另端头尾连线表示此两向量相加之结果(对于多个向量相加仍可如此进行)。
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若要计算向量的减法:\(\vec{a}-\vec{b}\),则先将 \(\vec{b}\) 的方向反转,得到 \(-\vec{b}\)。再以加法的方式求出 \(\vec{a}+(-\vec{b})\)
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※向量的加减遵守交换率和结合律:

\(\vec a + \vec b = \vec b + \vec a \)
\(\vec a + ( \vec b + \vec c ) = ( \vec a + \vec b ) + \vec c\)

向量的乘法

向量的乘法可以分成三类,向量和纯量的乘法、向量的内积、向量外积。

当向量与纯量相乘:\(|x|\vec{a}\),他所代表的意义是 \(a\) 向量的方向不变,量值为 \(a\) 向量原本的量值乘上 \(|x|\)。
向量、单位向量 (Vector, Unit Vector)
两个向量的内积是一纯量,我们把他记做 \(\vec a \cdot \vec b\)

其定义为 \(\vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \theta\)

内积会满足分配律、交换律。在物理学上,力作功的问题经常会用到内积来进行运算。

向量、单位向量 (Vector, Unit Vector)
两个向量的外积是一向量,记做 \(\vec a \times \vec b\),他的大小被定义为 \(\vec a \times \vec b = |\vec a| |\vec b| \sin \theta\)

\(\theta\) 为 \(\vec a, \vec b\) 间较小的夹角,方向则是以「右手定则」来判定(如图)

向量、单位向量 (Vector, Unit Vector)
外积不满足交换律和结合律,但却满足分配律。